Covariância

A covariância de duas variáveis X e Y é o seu momento central de ordem j=k=1

• Ou seja E[(X - E[X]) (Y - E[Y])]

• Designa-se Cov(X,Y)

Demonstração

Cov(X,Y) = E[(X - E[X]) * (Y - E[Y])]

= E[XY - XE[Y] - Y*E[X] + E[X]*E[Y]]

= E[XY] - 2*E[X]*E[Y] + E[X]*E[Y]

= E[XY] - E[X]*E[Y]

E[X] = 0 ou E[Y] = 0 => Cov(X,Y) = E[XY]

É uma generalização da Variância

• Cov(X,Y) = E[(X - E[X]) (X - E[X])] = Var(X)

Medida de relação linear entre variáveis aleatórias

Se relação não linear, covariância pode não ser sensível à relação

Covariância e independência

Se X e Y são *independentes`então Cov(X,Y) = 0

Uma vez que **Cov(X,Y) = E[XY] - E[X] * E[Y]*, se X e Y são independentes implica:

• E[XY] = E[X] * E[Y]

• O contrarário não é verdadeiro, se Cov(X,Y)=0, X e Y podem não ser independentes ainda assim

Propriedades

1. Cov(X,X) = Var(X)

2. Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

3. Cov(cX,Y) = c * Cov(X,Y)

4. Cov(X,Y + Z) = Cov(X,Y) + Cov(X,Z)

Demonstração 4.

E[X (Y+Z)] - E[X] * E[Y + Z]

= E[XY] + E[XZ] - E[X]*E[Y] - E[X]*E[Z]

= E[XY] - E[X]*E[Y] + E[XZ] - E[X]*E[Z]

= Cov(X,Y) + Cov (X,Z)