Normal

*ou Gaussiana*

Uma variável aleatória diz-se normal (ou gaussiana) se:

• f_X(x) = 1 / (sqr(2 * 𝜋) * 𝜎)

Podemos usat a notação N(m, 𝜎^2)

• m --> média

• 𝜎 --> desvio padrão

Função de distribuição acumulada

• F_X(x) = (1 / (sqr(2 * 𝜋) * 𝜎)) * Integral_-inf to +inf ( e^(- (t-m)^2 / (2 * 𝜎^2) ) dt )

• E[X] = m (por vezes é usado μ para representar a média)

• var(X) = 𝜎^2

Gaussiana normalizada

Com infinitas combinações de m e 𝜎 podem gerar-se infinitas curvas

A Gaussiana normalizada (N(0,1)) permite transforma-las em uma só curva

A fórmula de conversão é:

• Z = (x - m) / 𝜎

Ou seja, subtrair a média e dividir pelo desvio padrão

Função densidade de probabilidade:

• 𝜙(𝑥) = ( 1 / sqr(2 * 𝜋)) * e^(-x^2 / 2)

Função de distribuição acumulada:

• Φ(x) = (1 / sqr(2 * 𝜋)) * Integral_-inf to x (e^(t^2 / -2) dt)

Função distribuição acumulada:

N(m,𝜎^2) também pode ser expressa em termo de Φ(x)

• F_X(x) = Φ((x - m) / 𝜎)

Distribuição Normal e a Binomial

Função massa de probabilidade da Binomial, com m = n * p e 𝜎^2 = n * p * (1-p), em que m seja muito pequeno e n elevado, pode aproximar-se por:

• (1 / sqr(2 * 𝜋) * 𝜎) * e^(-(k - m)^2/(2 * 𝜎^2))

Ou seja a distribuição normal

• Com m = n * p e variância = n * p * (1-p)*