Caracterização
São utilizadas funções de distribuição conjuntas
Tais como:
Função massa de probabilidade conjunta
Função de distribuição cumulativa conjunta
Função de densidade de probabilidade conjunta
Função massa de probabilidade conjunta
Duas variáveis discretas X e Y:
p_X,Y(i,j) = P(X = i ∧ Y = j)
Exemplo:
A expressão generaliza para mais de 2 variáveis
p_X1,X2,...Xn(x1, x2, ..., xn) = P(X1 = x1, X2 = x2,..., Xn = xn)
Umafunção em R^n, não negativa
SUM_x1,x2,...,xn (p_x1,x2,...,xn * (x1, x2, ..., xn)) = 1
Função de distribuição cumulativa conjunta
Para duas variáveis X e Y:
F_X,Y(x,y) = P(X <= x ∧ Y <=y)
A mesma lógica é aplicada a n variáveis
Exemplo 1
Y_1 = número de temporais em Junho (0 a 2)
Y_2 = número de temporais em Julho (0 a 2)
Tabela com probabilidades
-
0
1
2
Junho
0
0.05
0.1
0.15
(y_1)
1
0.1
0.15
0.20
2
0.15
0.05
0.05
p_y1,y2(0,2) = 0.15
p_y1,y2(2,1) = 0.05
...
Distribuição de cada uma das variáveis
A distribuição de cada uma das variáveis pode ser obtida da distribuição conjunta
Por exemplo, no caso com duas variáveis X e Y:
F_X(a) = P(X <= a) = P(X <= a, Y <= inf) = F_X,Y(a, inf)
De forma similar:
F_Y(b) = P(Y <= b) = F_X,Y(inf, b)
Funções de probabilidade marginais
Para obter a função de massa de probabilidade as fórmuças para o caso discreto são:
p_X(x) = SUM_y ( p_X,Y(x,y) )
p_Y(y) = SUM_x ( p_X,Y(x,y) )
No caso de duas variáveis (X e Y), para obter a fmp somamos as linhas apropriadas da tabela representando a função de probabilidade conjunta
De forma similar obtém-se Y somando as colunas
Exemplo
-
0
1
2
p(y_1)
Junho
0
0.05
0.1
0.15
0.30
(y_1)
1
0.1
0.15
0.20
0.45
2
0.15
0.05
0.05
0.25
p(y_2)
0.30
0.30
0.40
1.00
Independência
X e Y são independentes se, para qualquer a,b é verificável:
P(X <= a, Y <= b) = P(X <= a) * P(Y <= b)
Ou seja, se E_a = {X <= a} e E_b = {Y <= b} são independentes, também as variáveis serão
Em termos de função de distribuição acumulada conjunta:
X e Y são independentes sse:
F_X,Y(a,b) = F_X(a) * F_Y(b)
qualquer que sejam a e b
Também, no caso discreto, X e Y são independentes sse:
p(x,y) = p_X(x) * p_Y(y)
E no caso contínuo:
f_XY(x,y) = f_X(x) * f_Y(y)
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