Matriz fundamental

Multiplicando verifica-se que

• (I - Q) * (I + Q + Q^2 + ... + Q^n) = I - Q^(n+1)

Fazendo n -> infinito temos

• (I - Q) * (I + Q + Q^2 + ...) = I

porque Q^n -> 0

Isto mostra que

(I - Q)^(-1) = I + Q + Q^2 + Q^3 + ...

Percurso aleatório

F = (I - Q)^(-1)

é a matriz fundamental do percurso aleatório

Interpretação de F

Os elementos de I + Q + Q^2 + Q^3 + ... + Q^n exprimem portanto o número médio de visitas ao estado j partindo do estado i em n passos

Logo, a matriz fundamenta F - que é o limite dessa quantidade quando n -> infinito - representa o número médio de visitas a cada estado antes de absorção

F_ij dá-nos o valor esperado para o número de vezes que um processo se encontra no estado S_j se começou antes de S_i

• Antes de ser absorvido