Coeficiente de correlação

De duas variáveis, X e Y:

• 𝜌_XY = Cov(X,Y) / (𝜎_X * 𝜎_Y)

Demonstra-se que -1 <= 𝜌_XY <= 1

E que os valores extremos (1 e -1) se obtém para a relação linear *Y= aX + b com a>0 ou a<0, respectivamente

Se 𝜌_XY = 0 as variáveis dizem-se descorrelacionadas

Independentes => descorrelacionadas

Exemplo

x	y	P(x,Y)
0	0	0.2
1	1	0.1
1	2	0.1
2	1	0.1
2	2	0.1
3	3	0.4
	Soma	1,0

x	y	P(x,y)	xy P(x,Y)	x P(x)	y P(y)	x^2 P(x)
0	0	0.2	0	0	0	0
1	1	0.1	0.1	0.1	0.1	0.1
1	2	0.1	0.2	0.1	0.2	0.1
2	1	0.1	0.2	0.2	0.1	0.4
2	2	0.1	0.4	0.2	0.2	0.4
3	3	0.4	3.6	1.2	1.2	3.6
	Soma	1.0	4.5	1.8	1.8	4.6

Exemplo cáculo de 𝜌_XY

• Var(X) = E[X^2] - E[X]^2 = 4.6 - 3.24 = 1.36

• Var(Y) = Var(X)

• Cov(X,Y) = E[XY] - E[X] * E[Y] = 4.5 - 1.8 * 1.8 = 1.26

Finalmente:

𝜌_XY = Cov(X,Y) / (𝜎_X * 𝜎_Y) = 1.25 / (sqr(1.36) * sqr(1.36)) = 0.926