Caracterização

São utilizadas funções de distribuição conjuntas

Tais como:

• Função massa de probabilidade conjunta

• Função de distribuição cumulativa conjunta

• Função de densidade de probabilidade conjunta

Função massa de probabilidade conjunta

Duas variáveis discretas X e Y:

• p_X,Y(i,j) = P(X = i ∧ Y = j)

Exemplo:

X = 1º dado
Y = 2º dado
p_X,Y(1,1) = p_X,Y(1,2) = ... = p_X,Y(6,6) = 1/36

A expressão generaliza para mais de 2 variáveis

• p_X1,X2,...Xn(x1, x2, ..., xn) = P(X1 = x1, X2 = x2,..., Xn = xn)

• Umafunção em R^n, não negativa

SUM_x1,x2,...,xn (p_x1,x2,...,xn * (x1, x2, ..., xn)) = 1

Função de distribuição cumulativa conjunta

Para duas variáveis X e Y:

• F_X,Y(x,y) = P(X <= x ∧ Y <=y)

A mesma lógica é aplicada a n variáveis

Exemplo 1

Y_1 = número de temporais em Junho (0 a 2)

Y_2 = número de temporais em Julho (0 a 2)

• Tabela com probabilidades

	Julho	(y_2)
	-	0	1	2
Junho	0	0.05	0.1	0.15
(y_1)	1	0.1	0.15	0.20
	2	0.15	0.05	0.05

• p_y1,y2(0,2) = 0.15

• p_y1,y2(2,1) = 0.05

• ...

Distribuição de cada uma das variáveis

A distribuição de cada uma das variáveis pode ser obtida da distribuição conjunta

Por exemplo, no caso com duas variáveis X e Y:

• F_X(a) = P(X <= a) = P(X <= a, Y <= inf) = F_X,Y(a, inf)

De forma similar:

• F_Y(b) = P(Y <= b) = F_X,Y(inf, b)

Funções de probabilidade marginais

Para obter a função de massa de probabilidade as fórmuças para o caso discreto são:

• p_X(x) = SUM_y ( p_X,Y(x,y) )

• p_Y(y) = SUM_x ( p_X,Y(x,y) )

No caso de duas variáveis (X e Y), para obter a fmp somamos as linhas apropriadas da tabela representando a função de probabilidade conjunta

De forma similar obtém-se Y somando as colunas

Exemplo

	Julho	(y_2)
	-	0	1	2	p(y_1)
Junho	0	0.05	0.1	0.15	0.30
(y_1)	1	0.1	0.15	0.20	0.45
	2	0.15	0.05	0.05	0.25
	p(y_2)	0.30	0.30	0.40	1.00

Independência

X e Y são independentes se, para qualquer a,b é verificável:

• P(X <= a, Y <= b) = P(X <= a) * P(Y <= b)

Ou seja, se E_a = {X <= a} e E_b = {Y <= b} são independentes, também as variáveis serão

Em termos de função de distribuição acumulada conjunta:

• X e Y são independentes sse:

  • F_X,Y(a,b) = F_X(a) * F_Y(b)

qualquer que sejam a e b

Também, no caso discreto, X e Y são independentes sse:

• p(x,y) = p_X(x) * p_Y(y)

E no caso contínuo:

• f_XY(x,y) = f_X(x) * f_Y(y)