Caracterização - Parte 2

Valor esperado

Sendo X uma variável aleatória , o valor esperado será a média de X ao repetirmos a experiênia indefinidamente

Representando por x_i os m diferentes valores que Xi pode assumir

SUM_i=1 to m of (x_i * P(X = x_i))

O valor esperado é representado por E[X]

• No caso discreto: E[X] = SUM(i) x_i * p( x_i )

• No caso continuo: E[X] = Integral(-inf to +inf) x * f_x(x) dx

Propriedades

E[x] é um operador linear

Dado a e c são contantes ∈R e X e Y variáveis aleatórias:

• E[aX] = a*E[X]

• E[X+Y] = E[X] + E[Y]

• E[X+c] = E[X] + c

Variância

Usar a diferença dos valores da variável para a média (valor esperado) e fazer a sua média

• var(X) = E[ ( X - E(X) )² ]

• var(X) = 𝜎^2 = SUM_i([x_i - E(X)]^2) * p(x_i)

• var(X) = E[X²] - E²[X]

Desvio padrão

Varância = (desvio padrão)^2

Respresentado por 𝜎

Propriedades variância

Dado X uma variável aleatória e c uma constantes:

• var(X+c) = var(X)

• var(cX) = c^2 * var(X)

Interpretação

• E[X]

  • Valor médio de X

  • Centro de gravidade da fmp (caso discreto) ou fdp

• Desvio padrão / Variância dá uma medida de dispersão da variável aleatória

Momentos de ordem n

• Caso discreto

m_n = E[X^n] = SUM_i ( (x_i)^n * p_x(x_i) )

• Exemplo dado equilibrado:

n = 2 p_x(x_i) = 1/6 x_i = (1:6)

E[X^2] = 1^2 * 1/6 + 2^2 * 1/6 + 3^2 * 1/6 + ... = 15,1667

• Momentos centrados de ordem n = generalização da variância

• E[ (X - E[X])^n ] = SUM_i ( x_i - E[X] )^n * p_x(x_i)

Exemplo

• Qual o valor da variância dos valores obtidos no lançamento de um dado honesto ?

E[X^2] = 1^2 * 1/6 + 2^2 * 1/6 + 3^2 * 1/6 + ... = 15,1667 E^2[X] = (1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + ...)^2 = 12,25

var(X) = E[X^2] - E^2[X] = 15,1667 - 12,25 = 2.9167