Caracterização - Parte 2
Valor esperado
Sendo X uma variável aleatória , o valor esperado será a média de X ao repetirmos a experiênia indefinidamente
Representando por x_i os m diferentes valores que Xi pode assumir
SUM_i=1 to m of (x_i * P(X = x_i))
O valor esperado é representado por E[X]
No caso discreto: E[X] = SUM(i) x_i * p( x_i )
No caso continuo: E[X] = Integral(-inf to +inf) x * f_x(x) dx
Propriedades
E[x] é um operador linear
Dado a e c são contantes ∈R e X e Y variáveis aleatórias:
E[aX] = a*E[X]
E[X+Y] = E[X] + E[Y]
E[X+c] = E[X] + c
Variância
Usar a diferença dos valores da variável para a média (valor esperado) e fazer a sua média
var(X) = E[ ( X - E(X) )² ]
var(X) = 𝜎^2 = SUM_i([x_i - E(X)]^2) * p(x_i)
var(X) = E[X²] - E²[X]
Desvio padrão
Varância = (desvio padrão)^2
Respresentado por 𝜎
Propriedades variância
Dado X uma variável aleatória e c uma constantes:
var(X+c) = var(X)
var(cX) = c^2 * var(X)
Interpretação
E[X]
Valor médio de X
Centro de gravidade da fmp (caso discreto) ou fdp
Desvio padrão / Variância dá uma medida de dispersão da variável aleatória
Momentos de ordem n
Caso discreto
m_n = E[X^n] = SUM_i ( (x_i)^n * p_x(x_i) )
Exemplo dado equilibrado:
n = 2 p_x(x_i) = 1/6 x_i = (1:6)
E[X^2] = 1^2 * 1/6 + 2^2 * 1/6 + 3^2 * 1/6 + ... = 15,1667
Momentos centrados de ordem n = generalização da variância
E[ (X - E[X])^n ] = SUM_i ( x_i - E[X] )^n * p_x(x_i)
Exemplo
Qual o valor da variância dos valores obtidos no lançamento de um dado honesto ?
E[X^2] = 1^2 * 1/6 + 2^2 * 1/6 + 3^2 * 1/6 + ... = 15,1667 E^2[X] = (1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + ...)^2 = 12,25
var(X) = E[X^2] - E^2[X] = 15,1667 - 12,25 = 2.9167
Last updated