Poisson

Foca-se apenas no número de ocorrências (discreto) num intervalo de contínuo

Esta distribuição não tem número de experiências (n) com na Binomial

  • As ocorrências são independentes entre si

Problemas de distribuição Binomial em que n é grande e o p é pequeno, ou seja, eventos raros, são bons candidatos á distribuição de Poisson

  • Se n > 20 e n * p <= 7 --> Poisson

Considerando uma variável binomial, n cresce e p decresce de forma a n * p --> 𝜆

  • p ~= 𝜆 / n logo 1 - p ~= 1 - 𝜆 / n

  • p_x(k) = (𝜆^k / k!) * e^(-𝜆)

Média e Variância

  • E[X] = 𝜆

  • var(X) = 𝜆

Binomial --> Poisson

  1. Calcular média da Binomial µ = n * p

  2. Como µ é o valor esperado (E[X]) da Binomial, transforma-se em 𝜆 de Poisson

  3. Usar fórmula de Poisson

  • p_x(k) = (𝜆^k / k!) * e^(-𝜆)

Exemplo

Clientes entram no banco a uma média de 3.2 a cada 4 minutos durante um dia da semana. Qual a probabilidade de haver mais de 7 clientes num intervalo de 4 minutos durante um dia á tarde

Resolvendo:

X = número de clientes

Prentendemos P("X > 7 clientes / 4 minutos")

𝜆 = 3.2

A solução requer que que calculemos a probabilidade para todos os k > 7. Ou então calculamos o complemento da probabilidade de k <= 7

Resulta que: SUM_k=0 to 7 ( 3.2^k / k! ) * e^(-3.2) = 0.0168

k --> valores possívies para X

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